Zgjidh {l}{x+2y=-2}{4y=1-3x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 2 } \\ { 4 y = 1 - 3 x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$4y+3x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+2y=-2$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-2y-2$$

Zëvendëso x me -2y-2 në ekuacionin tjetër, 3x+4y=1.

$$3\left(-2y-2\right)+4y=1$$

Shumëzo 3 herë -2y-2.

$$-6y-6+4y=1$$

Mblidh -6y me 4y.

$$-2y-6=1$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=7$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Zëvendëso y me -\frac{7}{2} në x=-2y-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\left(-\frac{7}{2}\right)-2$$

Shumëzo -2 herë -\frac{7}{2}.

$$x=7-2$$

Mblidh -2 me 7.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$4y+3x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+1\\\frac{3}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$4y+3x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

Për ta bërë x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-2\right),3x+4y=1$$

Thjeshto.

$$3x+6y=-6,3x+4y=1$$

Zbrit 3x+4y=1 nga 3x+6y=-6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x+6y-4y=-6-1$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$6y-4y=-6-1$$

Mblidh 6y me -4y.

$$2y=-6-1$$

Mblidh -6 me -1.

$$2y=-7$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Zëvendëso y me -\frac{7}{2} në 3x+4y=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x+4\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

Shumëzo 4 herë -\frac{7}{2}.

$$3x-14=1$$

Mblidh 14 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=15$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$