Zgjidh {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$6x-18y=-85$$

Mblidh 18y në të dyja anët e ekuacionit.

$$6x=18y-85$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

Shumëzo \frac{1}{6} herë 18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

Zëvendëso x me 3y-\frac{85}{6} në ekuacionin tjetër, 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

Shumëzo 24 herë 3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

Mblidh 72y me -5y.

$$67y-340=-5$$

Mblidh 340 në të dyja anët e ekuacionit.

$$67y=335$$

Pjesëto të dyja anët me 67.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=3y-\frac{85}{6}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

Shumëzo 3 herë 5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

Mblidh -\frac{85}{6} me 15.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Për ta bërë 6x të barabartë me 24x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 24 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 6.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

Thjeshto.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

Zbrit 144x-30y=-30 nga 144x-432y=-2040 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

Mblidh 144x me -144x. Shprehjet 144x dhe -144x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-432y+30y=-2040+30$$

Mblidh -432y me 30y.

$$-402y=-2040+30$$

Mblidh -2040 me 30.

$$-402y=-2010$$

Pjesëto të dyja anët me -402.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në 24x-5y=-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$24x-5\times 5=-5$$

Shumëzo -5 herë 5.

$$24x-25=-5$$

Mblidh 25 në të dyja anët e ekuacionit.

$$24x=20$$

Pjesëto të dyja anët me 24.

$$x=\frac{5}{6}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$