Zgjidh {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{5}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$5x-y=5$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=y+5$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë y+5.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

Zëvendëso x me \frac{y}{5}+1 në ekuacionin tjetër, -\frac{1}{5}x+y=0.

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

Shumëzo -\frac{1}{5} herë \frac{y}{5}+1.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

Mblidh -\frac{y}{25} me y.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

Mblidh \frac{1}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{24}{25}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{5}{24}$$

Zëvendëso y me \frac{5}{24} në x=\frac{1}{5}y+1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

Shumëzo \frac{1}{5} herë \frac{5}{24} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

Mblidh 1 me \frac{1}{24}.

$$x=\frac{25}{24}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{5}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{1}{5}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Për ta bërë 5x të barabartë me -\frac{x}{5}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -\frac{1}{5} dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 5.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

Thjeshto.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

Zbrit -x+5y=0 nga -x+\frac{1}{5}y=-1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Mblidh -x me x. Shprehjet -x dhe x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Mblidh \frac{y}{5} me -5y.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{24}{5}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{5}{24}$$

Zëvendëso y me \frac{5}{24} në -\frac{1}{5}x+y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

Zbrit \frac{5}{24} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

Shumëzo të dyja anët me -5.

$$x=\frac{25}{24}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$