Zgjidh {l}{44=12k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Gjej k, b

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$12k+b=44$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$82k+b=16$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej k duke veçuar k në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$12k+b=44$$

Zbrit b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$12k=-b+44$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

Shumëzo \frac{1}{12} herë -b+44.

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

Zëvendëso k me -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} në ekuacionin tjetër, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

Shumëzo 82 herë -\frac{b}{12}+\frac{11}{3}.

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

Mblidh -\frac{41b}{6} me b.

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

Zbrit \frac{902}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{35}{6}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=\frac{244}{5}$$

Zëvendëso b me \frac{244}{5} në k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh k menjëherë.

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

Shumëzo -\frac{1}{12} herë \frac{244}{5} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

Mblidh \frac{11}{3} me -\frac{61}{15} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$12k+b=44$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$82k+b=16$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës k dhe b.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$12k+b=44$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$82k+b=16$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$12k+b=44,82k+b=16$$

Zbrit 82k+b=16 nga 12k+b=44 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$12k-82k+b-b=44-16$$

Mblidh b me -b. Shprehjet b dhe -b thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12k-82k=44-16$$

Mblidh 12k me -82k.

$$-70k=44-16$$

Mblidh 44 me -16.

$$-70k=28$$

Pjesëto të dyja anët me -70.

$$k=-\frac{2}{5}$$

Zëvendëso k me -\frac{2}{5} në 82k+b=16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh b menjëherë.

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

Shumëzo 82 herë -\frac{2}{5}.

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

Mblidh \frac{164}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$b=\frac{244}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$