Zgjidh {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

Gjej k, b

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$112k+b=44$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$82k+b=16$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej k duke veçuar k në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$112k+b=44$$

Zbrit b nga të dyja anët e ekuacionit.

$$112k=-b+44$$

Pjesëto të dyja anët me 112.

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

Shumëzo \frac{1}{112} herë -b+44.

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

Zëvendëso k me -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} në ekuacionin tjetër, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

Shumëzo 82 herë -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}.

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

Mblidh -\frac{41b}{56} me b.

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

Zbrit \frac{451}{14} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{15}{56}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$b=-\frac{908}{15}$$

Zëvendëso b me -\frac{908}{15} në k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh k menjëherë.

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

Shumëzo -\frac{1}{112} herë -\frac{908}{15} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

Mblidh \frac{11}{28} me \frac{227}{420} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$k=\frac{14}{15}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$112k+b=44$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$82k+b=16$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës k dhe b.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$112k+b=44$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$82k+b=16$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

Zbrit 82k+b=16 nga 112k+b=44 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$112k-82k+b-b=44-16$$

Mblidh b me -b. Shprehjet b dhe -b thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$112k-82k=44-16$$

Mblidh 112k me -82k.

$$30k=44-16$$

Mblidh 44 me -16.

$$30k=28$$

Pjesëto të dyja anët me 30.

$$k=\frac{14}{15}$$

Zëvendëso k me \frac{14}{15} në 82k+b=16. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh b menjëherë.

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

Shumëzo 82 herë \frac{14}{15}.

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

Zbrit \frac{1148}{15} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$b=-\frac{908}{15}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$