Zgjidh {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Kombino 4x dhe -3x për të marrë x.

$$x+4y+3y=10$$

Kombino 4y dhe 3y për të marrë 7y.

$$x+7y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Kombino 2y dhe 3y për të marrë 5y.

$$-x+5y=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+7y=10$$

Zbrit 7y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-7y+10$$

Zëvendëso x me -7y+10 në ekuacionin tjetër, -x+5y=2.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

Shumëzo -1 herë -7y+10.

$$7y-10+5y=2$$

Mblidh 7y me 5y.

$$12y-10=2$$

Mblidh 10 në të dyja anët e ekuacionit.

$$12y=12$$

Pjesëto të dyja anët me 12.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=-7y+10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-7+10$$

Mblidh 10 me -7.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Kombino 4x dhe -3x për të marrë x.

$$x+4y+3y=10$$

Kombino 4y dhe 3y për të marrë 7y.

$$x+7y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Kombino 2y dhe 3y për të marrë 5y.

$$-x+5y=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+y.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-y.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

Kombino 4x dhe -3x për të marrë x.

$$x+4y+3y=10$$

Kombino 4y dhe 3y për të marrë 7y.

$$x+7y=10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-y.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x+2y+3y=2$$

Kombino 2y dhe 3y për të marrë 5y.

$$-x+5y=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

Për ta bërë x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

Zbrit -x+5y=2 nga -x-7y=-10 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

Mblidh -x me x. Shprehjet -x dhe x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-7y-5y=-10-2$$

Mblidh -7y me -5y.

$$-12y=-10-2$$

Mblidh -10 me -2.

$$-12y=-12$$

Pjesëto të dyja anët me -12.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në -x+5y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+5=2$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=1$$