Zgjidh {l}{3x+2=4y}{x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 = 4 y } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

$$y = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$3x+2-4y=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-4y=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-4y=-2$$

Mblidh 4y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=4y-2$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-2\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 4y-2.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{4y-2}{3} në ekuacionin tjetër, x+y=10.

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=10$$

Mblidh \frac{4y}{3} me y.

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=10$$

Mblidh \frac{2}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{3}y=\frac{32}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=\frac{32}{7}$$

Zëvendëso y me \frac{32}{7} në x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{32}{7}-\frac{2}{3}$$

Shumëzo \frac{4}{3} herë \frac{32}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{128}{21}-\frac{2}{3}$$

Mblidh -\frac{2}{3} me \frac{128}{21} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{38}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$3x+2-4y=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-4y=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{4}{7}\times 10\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{7}\\\frac{32}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 4y nga të dyja anët.

$$3x+2-4y=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$3x-4y=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

Për ta bërë 3x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$3x-4y=-2,3x+3y=3\times 10$$

Thjeshto.

$$3x-4y=-2,3x+3y=30$$

Zbrit 3x+3y=30 nga 3x-4y=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x-4y-3y=-2-30$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4y-3y=-2-30$$

Mblidh -4y me -3y.

$$-7y=-2-30$$

Mblidh -2 me -30.

$$-7y=-32$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=\frac{32}{7}$$

Zëvendëso y me \frac{32}{7} në x+y=10. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+\frac{32}{7}=10$$

Zbrit \frac{32}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{38}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$