Zgjidh {l}{3(x+y)=5x-y+2}{2(x-y)=3x+y-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 5 x - y + 2 } \\ { 2 ( x - y ) = 3 x + y - 4 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+y.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

Kombino 3x dhe -5x për të marrë -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Shto y në të dyja anët.

$$-2x+3y+y=2$$

Kombino 3y dhe y për të marrë 4y.

$$-2x+4y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-y.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2x-2y-3x=y-4$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x-2y=y-4$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$-x-2y-y=-4$$

Kombino -2y dhe -y për të marrë -3y.

$$-x-3y=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-2x+4y=2$$

Zbrit 4y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-4y+2$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë -4y+2.

$$x=2y-1$$

Zëvendëso x me 2y-1 në ekuacionin tjetër, -x-3y=-4.

$$-\left(2y-1\right)-3y=-4$$

Shumëzo -1 herë 2y-1.

$$-2y+1-3y=-4$$

Mblidh -2y me -3y.

$$-5y+1=-4$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-5y=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=2y-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=2-1$$

Mblidh -1 me 2.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+y.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

Kombino 3x dhe -5x për të marrë -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Shto y në të dyja anët.

$$-2x+3y+y=2$$

Kombino 3y dhe y për të marrë 4y.

$$-2x+4y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-y.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2x-2y-3x=y-4$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x-2y=y-4$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$-x-2y-y=-4$$

Kombino -2y dhe -y për të marrë -3y.

$$-x-3y=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 2-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+y.

$$3x+3y=5x-y+2$$

Zbrit 5x nga të dyja anët.

$$3x+3y-5x=-y+2$$

Kombino 3x dhe -5x për të marrë -2x.

$$-2x+3y=-y+2$$

Shto y në të dyja anët.

$$-2x+3y+y=2$$

Kombino 3y dhe y për të marrë 4y.

$$-2x+4y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-y.

$$2x-2y=3x+y-4$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$2x-2y-3x=y-4$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x-2y=y-4$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$-x-2y-y=-4$$

Kombino -2y dhe -y për të marrë -3y.

$$-x-3y=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

Për ta bërë -2x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -2.

$$-\left(-2\right)x-4y=-2,-2\left(-1\right)x-2\left(-3\right)y=-2\left(-4\right)$$

Thjeshto.

$$2x-4y=-2,2x+6y=8$$

Zbrit 2x+6y=8 nga 2x-4y=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x-4y-6y=-2-8$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-4y-6y=-2-8$$

Mblidh -4y me -6y.

$$-10y=-2-8$$

Mblidh -2 me -8.

$$-10y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në -x-3y=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x-3=-4$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-1$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=1$$