Zgjidh {l}{2x-3y=1}{x+1/3+1=5-y/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 1 } \\ { \frac { x + 1 } { 3 } + 1 = \frac { 5 - y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Shto 2 dhe 6 për të marrë 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

Shto 3y në të dyja anët.

$$2x+8+3y=15$$

Zbrit 8 nga të dyja anët.

$$2x+3y=15-8$$

Zbrit 8 nga 15 për të marrë 7.

$$2x+3y=7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=1$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y+1$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+1\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{3y+1}{2} në ekuacionin tjetër, 2x+3y=7.

$$2\left(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+3y=7$$

Shumëzo 2 herë \frac{3y+1}{2}.

$$3y+1+3y=7$$

Mblidh 3y me 3y.

$$6y+1=7$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$6y=6$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} me \frac{3}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Shto 2 dhe 6 për të marrë 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

Shto 3y në të dyja anët.

$$2x+8+3y=15$$

Zbrit 8 nga të dyja anët.

$$2x+3y=15-8$$

Zbrit 8 nga 15 për të marrë 7.

$$2x+3y=7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 7\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2\left(x+1\right)+6=3\left(5-y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+1.

$$2x+2+6=3\left(5-y\right)$$

Shto 2 dhe 6 për të marrë 8.

$$2x+8=3\left(5-y\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 5-y.

$$2x+8=15-3y$$

Shto 3y në të dyja anët.

$$2x+8+3y=15$$

Zbrit 8 nga të dyja anët.

$$2x+3y=15-8$$

Zbrit 8 nga 15 për të marrë 7.

$$2x+3y=7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=1,2x+3y=7$$

Zbrit 2x+3y=7 nga 2x-3y=1 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x-3y-3y=1-7$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y-3y=1-7$$

Mblidh -3y me -3y.

$$-6y=1-7$$

Mblidh 1 me -7.

$$-6y=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në 2x+3y=7. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+3=7$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=1$$