Zgjidh {l}{2(x+y)-3(x-y)=4}{5(x+y)-7(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 4 } \\ { 5 ( x + y ) - 7 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-19$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Kombino 2y dhe 3y për të marrë 5y.

$$-x+5y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Kombino 5x dhe -7x për të marrë -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Kombino 5y dhe 7y për të marrë 12y.

$$-2x+12y=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-x+5y=4$$

Zbrit 5y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-5y+4$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=-\left(-5y+4\right)$$

Shumëzo -1 herë -5y+4.

$$x=5y-4$$

Zëvendëso x me 5y-4 në ekuacionin tjetër, -2x+12y=2.

$$-2\left(5y-4\right)+12y=2$$

Shumëzo -2 herë 5y-4.

$$-10y+8+12y=2$$

Mblidh -10y me 12y.

$$2y+8=2$$

Zbrit 8 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=-6$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=5y-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=5\left(-3\right)-4$$

Shumëzo 5 herë -3.

$$x=-15-4$$

Mblidh -4 me -15.

$$x=-19$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-19,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Kombino 2y dhe 3y për të marrë 5y.

$$-x+5y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Kombino 5x dhe -7x për të marrë -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Kombino 5y dhe 7y për të marrë 12y.

$$-2x+12y=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-12-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-12-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-12-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{5}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\times 4+\frac{5}{2}\times 2\\-4+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-19,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+y.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x-y.

$$2x+2y-3x+3y=4$$

Kombino 2x dhe -3x për të marrë -x.

$$-x+2y+3y=4$$

Kombino 2y dhe 3y për të marrë 5y.

$$-x+5y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me x+y.

$$5x+5y-7\left(x-y\right)=2$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -7 me x-y.

$$5x+5y-7x+7y=2$$

Kombino 5x dhe -7x për të marrë -2x.

$$-2x+5y+7y=2$$

Kombino 5y dhe 7y për të marrë 12y.

$$-2x+12y=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-x+5y=4,-2x+12y=2$$

Për ta bërë -x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2\times 4,-\left(-2\right)x-12y=-2$$

Thjeshto.

$$2x-10y=-8,2x-12y=-2$$

Zbrit 2x-12y=-2 nga 2x-10y=-8 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x-10y+12y=-8+2$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-10y+12y=-8+2$$

Mblidh -10y me 12y.

$$2y=-8+2$$

Mblidh -8 me 2.

$$2y=-6$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në -2x+12y=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x+12\left(-3\right)=2$$

Shumëzo 12 herë -3.

$$-2x-36=2$$

Mblidh 36 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=38$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=-19$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-19,y=-3$$