Zgjidh {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=4$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$150y+200x=1000$$

Zbrit 200x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$150y=-200x+1000$$

Pjesëto të dyja anët me 150.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

Shumëzo \frac{1}{150} herë -200x+1000.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{-4x+20}{3} në ekuacionin tjetër, 100y+400x=1200.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

Shumëzo 100 herë \frac{-4x+20}{3}.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

Mblidh -\frac{400x}{3} me 400x.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

Zbrit \frac{2000}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{800}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

Shumëzo -\frac{4}{3} herë 2.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

Mblidh \frac{20}{3} me -\frac{8}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=4,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=4,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

Për ta bërë 150y të barabartë me 100y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 100 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 150.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

Thjeshto.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

Zbrit 15000y+60000x=180000 nga 15000y+20000x=100000 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

Mblidh 15000y me -15000y. Shprehjet 15000y dhe -15000y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

Mblidh 20000x me -60000x.

$$-40000x=100000-180000$$

Mblidh 100000 me -180000.

$$-40000x=-80000$$

Pjesëto të dyja anët me -40000.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në 100y+400x=1200. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$100y+400\times 2=1200$$

Shumëzo 400 herë 2.

$$100y+800=1200$$

Zbrit 800 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$100y=400$$

Pjesëto të dyja anët me 100.

$$y=4$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=4,x=2$$