Zgjidh {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Kombino -2y dhe -5y për të marrë -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$2x-7y-10x=-10$$

Kombino 2x dhe -10x për të marrë -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Zbrit 6 nga të dyja anët.

$$2x+3y=6-6$$

Zbrit 6 nga 6 për të marrë 0.

$$2x+3y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-8x-7y=-10$$

Mblidh 7y në të dyja anët e ekuacionit.

$$-8x=7y-10$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{8} herë 7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

Zëvendëso x me -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} në ekuacionin tjetër, 2x+3y=0.

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

Shumëzo 2 herë -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

Mblidh -\frac{7y}{4} me 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

Zbrit \frac{5}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{5}{4}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

Shumëzo -\frac{7}{8} herë -2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

Mblidh \frac{5}{4} me \frac{7}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=-2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Kombino -2y dhe -5y për të marrë -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$2x-7y-10x=-10$$

Kombino 2x dhe -10x për të marrë -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Zbrit 6 nga të dyja anët.

$$2x+3y=6-6$$

Zbrit 6 nga 6 për të marrë 0.

$$2x+3y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=-2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 10, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5,2.

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-y.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

Kombino -2y dhe -5y për të marrë -7y.

$$2x-7y=10x-10$$

Zbrit 10x nga të dyja anët.

$$2x-7y-10x=-10$$

Kombino 2x dhe -10x për të marrë -8x.

$$-8x-7y=-10$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,2.

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me y+2.

$$2x+3y+6=6$$

Zbrit 6 nga të dyja anët.

$$2x+3y=6-6$$

Zbrit 6 nga 6 për të marrë 0.

$$2x+3y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Për ta bërë -8x të barabartë me 2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -8.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

Thjeshto.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

Zbrit -16x-24y=0 nga -16x-14y=-20 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

Mblidh -16x me 16x. Shprehjet -16x dhe 16x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-14y+24y=-20$$

Mblidh -14y me 24y.

$$10y=-20$$

Pjesëto të dyja anët me 10.

$$y=-2$$

Zëvendëso y me -2 në 2x+3y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

Shumëzo 3 herë -2.

$$2x-6=0$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=6$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=-2$$