Zgjidh {l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-y.

$$3x-3y-2y=6$$

Kombino -3y dhe -2y për të marrë -5y.

$$3x-5y=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto çdo kufizë të 2x+y me 2 për të marrë x+\frac{1}{2}y.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

Kombino \frac{1}{2}y dhe -y për të marrë -\frac{1}{2}y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-5y=6$$

Mblidh 5y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=5y+6$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 5y+6.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

Zëvendëso x me \frac{5y}{3}+2 në ekuacionin tjetër, x-\frac{1}{2}y=0.

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

Mblidh \frac{5y}{3} me -\frac{y}{2}.

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{7}{6}y=-2$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{7}{6}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{12}{7}$$

Zëvendëso y me -\frac{12}{7} në x=\frac{5}{3}y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

Shumëzo \frac{5}{3} herë -\frac{12}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

Mblidh 2 me -\frac{20}{7}.

$$x=-\frac{6}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-y.

$$3x-3y-2y=6$$

Kombino -3y dhe -2y për të marrë -5y.

$$3x-5y=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto çdo kufizë të 2x+y me 2 për të marrë x+\frac{1}{2}y.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

Kombino \frac{1}{2}y dhe -y për të marrë -\frac{1}{2}y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x-y.

$$3x-3y-2y=6$$

Kombino -3y dhe -2y për të marrë -5y.

$$3x-5y=6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Pjesëto çdo kufizë të 2x+y me 2 për të marrë x+\frac{1}{2}y.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

Kombino \frac{1}{2}y dhe -y për të marrë -\frac{1}{2}y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Për ta bërë 3x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

Thjeshto.

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

Zbrit 3x-\frac{3}{2}y=0 nga 3x-5y=6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

Mblidh 3x me -3x. Shprehjet 3x dhe -3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

Mblidh -5y me \frac{3y}{2}.

$$-\frac{7}{2}y=6$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{7}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-\frac{12}{7}$$

Zëvendëso y me -\frac{12}{7} në x-\frac{1}{2}y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

Shumëzo -\frac{1}{2} herë -\frac{12}{7} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x+\frac{6}{7}=0$$

Zbrit \frac{6}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{6}{7}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$