Zgjidh {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,2.

$$x+2y=28$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4x-3y=24$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+2y=28$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-2y+28$$

Zëvendëso x me -2y+28 në ekuacionin tjetër, 4x-3y=24.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

Shumëzo 4 herë -2y+28.

$$-8y+112-3y=24$$

Mblidh -8y me -3y.

$$-11y+112=24$$

Zbrit 112 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-11y=-88$$

Pjesëto të dyja anët me -11.

$$y=8$$

Zëvendëso y me 8 në x=-2y+28. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\times 8+28$$

Shumëzo -2 herë 8.

$$x=-16+28$$

Mblidh 28 me -16.

$$x=12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=8$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,2.

$$x+2y=28$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4x-3y=24$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=12,y=8$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 4,2.

$$x+2y=28$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4x-3y=24$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Për ta bërë x të barabartë me 4x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 4 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Thjeshto.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

Zbrit 4x-3y=24 nga 4x+8y=112 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

Mblidh 4x me -4x. Shprehjet 4x dhe -4x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$8y+3y=112-24$$

Mblidh 8y me 3y.

$$11y=112-24$$

Mblidh 112 me -24.

$$11y=88$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$y=8$$

Zëvendëso y me 8 në 4x-3y=24. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$4x-3\times 8=24$$

Shumëzo -3 herë 8.

$$4x-24=24$$

Mblidh 24 në të dyja anët e ekuacionit.

$$4x=48$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x=12$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=12,y=8$$