Zgjidh {l}{x+2y/3=-x+3y/4+1}{5x+y=2(x-6)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 y } { 3 } = \frac { - x + 3 y } { 4 } + 1 } \\ { 5 x + y = 2 ( x - 6 ) } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=0$$

$$y=-12$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4\left(x+2y\right)=3\left(-x+3y\right)+12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+2y.

$$4x+8y=3\left(-x+3y\right)+12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me -x+3y.

$$4x+8y=3\left(-x\right)+9y+12$$

Zbrit 3\left(-x\right) nga të dyja anët.

$$4x+8y-3\left(-x\right)=9y+12$$

Zbrit 9y nga të dyja anët.

$$4x+8y-3\left(-x\right)-9y=12$$

Shumëzo -1 me 3 për të marrë -3.

$$4x+8y-3\left(-1\right)x-9y=12$$

Shumëzo -3 me -1 për të marrë 3.

$$4x+8y+3x-9y=12$$

Kombino 4x dhe 3x për të marrë 7x.

$$7x+8y-9y=12$$

Kombino 8y dhe -9y për të marrë -y.

$$7x-y=12$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-6.

$$5x+y=2x-12$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$5x+y-2x=-12$$

Kombino 5x dhe -2x për të marrë 3x.

$$3x+y=-12$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$7x-y=12,3x+y=-12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$7x-y=12$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=y+12$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+12\right)$$

Shumëzo \frac{1}{7} herë y+12.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{12}{7}$$

Zëvendëso x me \frac{12+y}{7} në ekuacionin tjetër, 3x+y=-12.

$$3\left(\frac{1}{7}y+\frac{12}{7}\right)+y=-12$$

Shumëzo 3 herë \frac{12+y}{7}.

$$\frac{3}{7}y+\frac{36}{7}+y=-12$$

Mblidh \frac{3y}{7} me y.

$$\frac{10}{7}y+\frac{36}{7}=-12$$

Zbrit \frac{36}{7} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{10}{7}y=-\frac{120}{7}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{10}{7}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=-12$$

Zëvendëso y me -12 në x=\frac{1}{7}y+\frac{12}{7}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{12}{7}$$

Shumëzo \frac{1}{7} herë -12.

$$x=\frac{-12+12}{7}$$

Mblidh \frac{12}{7} me -\frac{12}{7} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=-12$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4\left(x+2y\right)=3\left(-x+3y\right)+12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+2y.

$$4x+8y=3\left(-x+3y\right)+12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me -x+3y.

$$4x+8y=3\left(-x\right)+9y+12$$

Zbrit 3\left(-x\right) nga të dyja anët.

$$4x+8y-3\left(-x\right)=9y+12$$

Zbrit 9y nga të dyja anët.

$$4x+8y-3\left(-x\right)-9y=12$$

Shumëzo -1 me 3 për të marrë -3.

$$4x+8y-3\left(-1\right)x-9y=12$$

Shumëzo -3 me -1 për të marrë 3.

$$4x+8y+3x-9y=12$$

Kombino 4x dhe 3x për të marrë 7x.

$$7x+8y-9y=12$$

Kombino 8y dhe -9y për të marrë -y.

$$7x-y=12$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-6.

$$5x+y=2x-12$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$5x+y-2x=-12$$

Kombino 5x dhe -2x për të marrë 3x.

$$3x+y=-12$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$7x-y=12,3x+y=-12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-3\right)}&\frac{7}{7-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{7}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\left(-12\right)\\-\frac{3}{10}\times 12+\frac{7}{10}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-12\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=0,y=-12$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 12, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 3,4.

$$4\left(x+2y\right)=3\left(-x+3y\right)+12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+2y.

$$4x+8y=3\left(-x+3y\right)+12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me -x+3y.

$$4x+8y=3\left(-x\right)+9y+12$$

Zbrit 3\left(-x\right) nga të dyja anët.

$$4x+8y-3\left(-x\right)=9y+12$$

Zbrit 9y nga të dyja anët.

$$4x+8y-3\left(-x\right)-9y=12$$

Shumëzo -1 me 3 për të marrë -3.

$$4x+8y-3\left(-1\right)x-9y=12$$

Shumëzo -3 me -1 për të marrë 3.

$$4x+8y+3x-9y=12$$

Kombino 4x dhe 3x për të marrë 7x.

$$7x+8y-9y=12$$

Kombino 8y dhe -9y për të marrë -y.

$$7x-y=12$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x-6.

$$5x+y=2x-12$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$5x+y-2x=-12$$

Kombino 5x dhe -2x për të marrë 3x.

$$3x+y=-12$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$7x-y=12,3x+y=-12$$

Për ta bërë 7x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 7.

$$3\times 7x+3\left(-1\right)y=3\times 12,7\times 3x+7y=7\left(-12\right)$$

Thjeshto.

$$21x-3y=36,21x+7y=-84$$

Zbrit 21x+7y=-84 nga 21x-3y=36 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$21x-21x-3y-7y=36+84$$

Mblidh 21x me -21x. Shprehjet 21x dhe -21x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-3y-7y=36+84$$

Mblidh -3y me -7y.

$$-10y=36+84$$

Mblidh 36 me 84.

$$-10y=120$$

Pjesëto të dyja anët me -10.

$$y=-12$$

Zëvendëso y me -12 në 3x+y=-12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-12=-12$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=0$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=0,y=-12$$