Zgjidh {l}{2x-y/5=3}{x+y/3=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y } { 5 } = 3 } \\ { \frac { x + y } { 3 } = 3 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=8$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 5.

$$2x-y=3\times 5$$

Shumëzo 3 me 5 për të marrë 15.

$$2x-y=15$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët me 3.

$$x+y=3\times 3$$

Shumëzo 3 me 3 për të marrë 9.

$$x+y=9$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-y=15,x+y=9$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-y=15$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=y+15$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+15\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë y+15.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{15+y}{2} në ekuacionin tjetër, x+y=9.

$$\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}+y=9$$

Mblidh \frac{y}{2} me y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

Zbrit \frac{15}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{3}{2}y=\frac{3}{2}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{3}{2}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x=\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1+15}{2}$$

Mblidh \frac{15}{2} me \frac{1}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=8,y=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 5.

$$2x-y=3\times 5$$

Shumëzo 3 me 5 për të marrë 15.

$$2x-y=15$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët me 3.

$$x+y=3\times 3$$

Shumëzo 3 me 3 për të marrë 9.

$$x+y=9$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-y=15,x+y=9$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{1}{3}\times 9\\-\frac{1}{3}\times 15+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=8,y=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët me 5.

$$2x-y=3\times 5$$

Shumëzo 3 me 5 për të marrë 15.

$$2x-y=15$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shumëzo të dyja anët me 3.

$$x+y=3\times 3$$

Shumëzo 3 me 3 për të marrë 9.

$$x+y=9$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-y=15,x+y=9$$

Për ta bërë 2x të barabartë me x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$2x-y=15,2x+2y=2\times 9$$

Thjeshto.

$$2x-y=15,2x+2y=18$$

Zbrit 2x+2y=18 nga 2x-y=15 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-2x-y-2y=15-18$$

Mblidh 2x me -2x. Shprehjet 2x dhe -2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-y-2y=15-18$$

Mblidh -y me -2y.

$$-3y=15-18$$

Mblidh 15 me -18.

$$-3y=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=1$$

Zëvendëso y me 1 në x+y=9. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x+1=9$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=8,y=1$$