Zgjidh {c}{4+v=2(3-w)}{v=4+w}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 + v = 2 ( 3 - w ) } \\ { v = 4 + w } \end{array} \right.$$

Gjej v, w

$$v = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$w=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3-w.

$$4+v=6-2w$$

Shto 2w në të dyja anët.

$$4+v+2w=6$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$v+2w=6-4$$

Zbrit 4 nga 6 për të marrë 2.

$$v+2w=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit w nga të dyja anët.

$$v-w=4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$v+2w=2,v-w=4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej v duke veçuar v në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$v+2w=2$$

Zbrit 2w nga të dyja anët e ekuacionit.

$$v=-2w+2$$

Zëvendëso v me -2w+2 në ekuacionin tjetër, v-w=4.

$$-2w+2-w=4$$

Mblidh -2w me -w.

$$-3w+2=4$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3w=2$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$w=-\frac{2}{3}$$

Zëvendëso w me -\frac{2}{3} në v=-2w+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh v menjëherë.

$$v=-2\left(-\frac{2}{3}\right)+2$$

Shumëzo -2 herë -\frac{2}{3}.

$$v=\frac{4}{3}+2$$

Mblidh 2 me \frac{4}{3}.

$$v=\frac{10}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$v=\frac{10}{3},w=-\frac{2}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3-w.

$$4+v=6-2w$$

Shto 2w në të dyja anët.

$$4+v+2w=6$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$v+2w=6-4$$

Zbrit 4 nga 6 për të marrë 2.

$$v+2w=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit w nga të dyja anët.

$$v-w=4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$v+2w=2,v-w=4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{2}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës v dhe w.

$$v=\frac{10}{3},w=-\frac{2}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 3-w.

$$4+v=6-2w$$

Shto 2w në të dyja anët.

$$4+v+2w=6$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$v+2w=6-4$$

Zbrit 4 nga 6 për të marrë 2.

$$v+2w=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit w nga të dyja anët.

$$v-w=4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$v+2w=2,v-w=4$$

Zbrit v-w=4 nga v+2w=2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$v-v+2w+w=2-4$$

Mblidh v me -v. Shprehjet v dhe -v thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2w+w=2-4$$

Mblidh 2w me w.

$$3w=2-4$$

Mblidh 2 me -4.

$$3w=-2$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$w=-\frac{2}{3}$$

Zëvendëso w me -\frac{2}{3} në v-w=4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh v menjëherë.

$$v-\left(-\frac{2}{3}\right)=4$$

Shumëzo -1 herë -\frac{2}{3}.

$$v+\frac{2}{3}=4$$

Zbrit \frac{2}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$v=\frac{10}{3}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$v=\frac{10}{3},w=-\frac{2}{3}$$