Zgjidh {c}{0.4(3x+1)-0.2(2x+y)=-0.4}{3(0.4x-0.5)+5(0.3y-1.1)=-2.8}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 0.4 ( 3 x + 1 ) - 0.2 ( 2 x + y ) = - 0.4 } \\ { 3 ( 0.4 x - 0.5 ) + 5 ( 0.3 y - 1.1 ) = - 2.8 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-0.25$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 0.4 me 3x+1.

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -0.2 me 2x+y.

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

Kombino 1.2x dhe -0.4x për të marrë 0.8x.

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

Zbrit 0.4 nga të dyja anët.

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

Zbrit 0.4 nga -0.4 për të marrë -0.8.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 0.4x-0.5.

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me 0.3y-1.1.

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

Zbrit 5.5 nga -1.5 për të marrë -7.

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

Shto 7 në të dyja anët.

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

Shto -2.8 dhe 7 për të marrë 4.2.

$$1.2x+1.5y=4.2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

Mblidh \frac{y}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$0.8x=0.2y-0.8$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 0.8, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=1.25\left(0.2y-0.8\right)$$

Shumëzo 1.25 herë \frac{y-4}{5}.

$$x=0.25y-1$$

Zëvendëso x me \frac{y}{4}-1 në ekuacionin tjetër, 1.2x+1.5y=4.2.

$$1.2\left(0.25y-1\right)+1.5y=4.2$$

Shumëzo 1.2 herë \frac{y}{4}-1.

$$0.3y-1.2+1.5y=4.2$$

Mblidh \frac{3y}{10} me \frac{3y}{2}.

$$1.8y-1.2=4.2$$

Mblidh 1.2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$1.8y=5.4$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 1.8, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=0.25y-1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=0.25\times 3-1$$

Shumëzo 0.25 herë 3.

$$x=0.75-1$$

Mblidh -1 me 0.75.

$$x=-0.25$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-0.25,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 0.4 me 3x+1.

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -0.2 me 2x+y.

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

Kombino 1.2x dhe -0.4x për të marrë 0.8x.

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

Zbrit 0.4 nga të dyja anët.

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

Zbrit 0.4 nga -0.4 për të marrë -0.8.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 0.4x-0.5.

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me 0.3y-1.1.

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

Zbrit 5.5 nga -1.5 për të marrë -7.

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

Shto 7 në të dyja anët.

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

Shto -2.8 dhe 7 për të marrë 4.2.

$$1.2x+1.5y=4.2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.5}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}&-\frac{-0.2}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}\\-\frac{1.2}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}&\frac{0.8}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}&\frac{5}{36}\\-\frac{5}{6}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\left(-0.8\right)+\frac{5}{36}\times 4.2\\-\frac{5}{6}\left(-0.8\right)+\frac{5}{9}\times 4.2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-0.25,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 0.4 me 3x+1.

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -0.2 me 2x+y.

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

Kombino 1.2x dhe -0.4x për të marrë 0.8x.

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

Zbrit 0.4 nga të dyja anët.

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

Zbrit 0.4 nga -0.4 për të marrë -0.8.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 0.4x-0.5.

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 5 me 0.3y-1.1.

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

Zbrit 5.5 nga -1.5 për të marrë -7.

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

Shto 7 në të dyja anët.

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

Shto -2.8 dhe 7 për të marrë 4.2.

$$1.2x+1.5y=4.2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

Për ta bërë \frac{4x}{5} të barabartë me \frac{6x}{5}, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 1.2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 0.8.

$$1.2\times 0.8x+1.2\left(-0.2\right)y=1.2\left(-0.8\right),0.8\times 1.2x+0.8\times 1.5y=0.8\times 4.2$$

Thjeshto.

$$0.96x-0.24y=-0.96,0.96x+1.2y=3.36$$

Zbrit 0.96x+1.2y=3.36 nga 0.96x-0.24y=-0.96 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$0.96x-0.96x-0.24y-1.2y=\frac{-24-84}{25}$$

Mblidh \frac{24x}{25} me -\frac{24x}{25}. Shprehjet \frac{24x}{25} dhe -\frac{24x}{25} thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-0.24y-1.2y=\frac{-24-84}{25}$$

Mblidh -\frac{6y}{25} me -\frac{6y}{5}.

$$-1.44y=\frac{-24-84}{25}$$

Mblidh -0.96 me -3.36 duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$-1.44y=-4.32$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -1.44, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në 1.2x+1.5y=4.2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$1.2x+1.5\times 3=4.2$$

Shumëzo 1.5 herë 3.

$$1.2x+4.5=4.2$$

Zbrit 4.5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$1.2x=-0.3$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me 1.2, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-0.25$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-0.25,y=3$$