Zgjidh frac{4-sqrt{2}}{4+sqrt{2}}-frac{4+sqrt{2}}{4-sqrt{2}}

$$\frac { 4 - \sqrt { 2 } } { 4 + \sqrt { 2 } } - \frac { 4 + \sqrt { 2 } } { 4 - \sqrt { 2 } }$$

Vlerëso

$$-\frac{8\sqrt{2}}{7}\approx -1.616244071$$

Hapat e zgjidhjes së shkurtër

Racionalizo emëruesin e \frac{4-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}} duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me 4-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Merr parasysh \left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Ngri në fuqi të dytë 4. Ngri në fuqi të dytë \sqrt{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{16-2}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Zbrit 2 nga 16 për të marrë 14.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Shumëzo 4-\sqrt{2} me 4-\sqrt{2} për të marrë \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Katrori i \sqrt{2} është 2.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+2}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Shto 16 dhe 2 për të marrë 18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Racionalizo emëruesin e \frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}} duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me 4+\sqrt{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}$$

Merr parasysh \left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Ngri në fuqi të dytë 4. Ngri në fuqi të dytë \sqrt{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{16-2}$$

Zbrit 2 nga 16 për të marrë 14.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{14}$$

Shumëzo 4+\sqrt{2} me 4+\sqrt{2} për të marrë \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

Katrori i \sqrt{2} është 2.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+2}{14}$$

Shto 16 dhe 2 për të marrë 18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{18+8\sqrt{2}}{14}$$

Meqenëse \frac{18-8\sqrt{2}}{14} dhe \frac{18+8\sqrt{2}}{14} kanë të njëjtin emërues, zbriti duke zbritur numëruesit e tyre.

$$\frac{18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)}{14}$$

Bëj shumëzimet në 18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right).

$$\frac{18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}}{14}$$

Bëj llogaritjet në 18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}.

$$\frac{-16\sqrt{2}}{14}$$

Pjesëto -16\sqrt{2} me 14 për të marrë -\frac{8}{7}\sqrt{2}.

$$-\frac{8}{7}\sqrt{2}$$