Rešite z^2-iz-1=0

$$z ^ { 2 } - i z - 1 = 0$$

Rešitev za z

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx 0,866025404+0,5i$$

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx -0,866025404+0,5i$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, -i za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{i±\sqrt{\left(-i\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kvadrat števila -i.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1+4}}{2}$$

Seštejte -1 in 4.

$$z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}, ko je ± plus. Seštejte i in \sqrt{3}.

$$z=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

Delite i+\sqrt{3} s/z 2.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Zdaj rešite enačbo z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}, ko je ± minus. Odštejte \sqrt{3} od i.

$$z=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$$

Delite i-\sqrt{3} s/z 2.

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Enačba je zdaj rešena.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Prištejte 1 na obe strani enačbe.

$$z^{2}-iz-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Če število -1 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$z^{2}-iz=-\left(-1\right)$$

Odštejte -1 od 0.

$$z^{2}-iz=1$$

Delite -i, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{2}i. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{2}i na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$z^{2}-iz+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}$$

Kvadrat števila -\frac{1}{2}i.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$$

Seštejte 1 in -\frac{1}{4}.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktorizirajte z^{2}-iz-\frac{1}{4}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Poenostavite.

$$z-\frac{1}{2}i=\frac{\sqrt{3}}{2} z-\frac{1}{2}i=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Prištejte \frac{1}{2}i na obe strani enačbe.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$