Rešite z^2+2z-1=0

$$z ^ { 2 } + 2 z - 1 = 0$$

Rešitev za z (complex solution)

$$z=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$z=-\left(\sqrt{2}+1\right)\approx -2,414213562$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$z^{2}+2z-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, 2 za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kvadrat števila 2.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Seštejte 4 in 4.

$$z=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 8.

$$z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, ko je ± plus. Seštejte -2 in 2\sqrt{2}.

$$z=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

Delite -2+2\sqrt{2} s/z 2.

$$z=\sqrt{2}-1$$

Zdaj rešite enačbo z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{2} od -2.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

Delite -2-2\sqrt{2} s/z 2.

$$z=-\sqrt{2}-1$$

Enačba je zdaj rešena.

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+2z-1=0$$

Prištejte 1 na obe strani enačbe.

$$z^{2}+2z-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Če število -1 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$z^{2}+2z=-\left(-1\right)$$

Odštejte -1 od 0.

$$z^{2}+2z=1$$

Delite 2, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite 1. Nato dodajte kvadrat števila 1 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$z^{2}+2z+1^{2}=1+1^{2}$$

Kvadrat števila 1.

$$z^{2}+2z+1=1+1$$

Seštejte 1 in 1.

$$z^{2}+2z+1=2$$

Faktorizirajte z^{2}+2z+1. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+1\right)^{2}=2$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Poenostavite.

$$z+1=\sqrt{2} z+1=-\sqrt{2}$$

Odštejte 1 na obeh straneh enačbe.

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$

Rešitev za z

$$z=\sqrt{2}-1\approx 0,414213562$$

$$z=-\sqrt{2}-1\approx -2,414213562$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$z^{2}+2z-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, 2 za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

Kvadrat števila 2.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

Seštejte 4 in 4.

$$z=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 8.

$$z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, ko je ± plus. Seštejte -2 in 2\sqrt{2}.

$$z=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

Delite -2+2\sqrt{2} s/z 2.

$$z=\sqrt{2}-1$$

Zdaj rešite enačbo z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{2} od -2.

$$z=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

Delite -2-2\sqrt{2} s/z 2.

$$z=-\sqrt{2}-1$$

Enačba je zdaj rešena.

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+2z-1=0$$

Prištejte 1 na obe strani enačbe.

$$z^{2}+2z-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Če število -1 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$z^{2}+2z=-\left(-1\right)$$

Odštejte -1 od 0.

$$z^{2}+2z=1$$

Delite 2, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite 1. Nato dodajte kvadrat števila 1 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$z^{2}+2z+1^{2}=1+1^{2}$$

Kvadrat števila 1.

$$z^{2}+2z+1=1+1$$

Seštejte 1 in 1.

$$z^{2}+2z+1=2$$

Faktorizirajte z^{2}+2z+1. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+1\right)^{2}=2$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Poenostavite.

$$z+1=\sqrt{2} z+1=-\sqrt{2}$$

Odštejte 1 na obeh straneh enačbe.

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$