Rešite y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Rešitev za y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za y z osamitvijo y na levi strani enačaja.

$$y-3x=2$$

Prištejte 3x na obe strani enačbe.

$$y=3x+2$$

Vstavite 3x+2 za y v drugo enačbo -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Pomnožite -2 s/z 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Seštejte -6x in 7x.

$$x-4=8$$

Prištejte 4 na obe strani enačbe.

$$x=12$$

Vstavite 12 za x v enačbi y=3x+2. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y=3\times 12+2$$

Pomnožite 3 s/z 12.

$$y=36+2$$

Seštejte 2 in 36.

$$y=38$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=38,x=12$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike y in x.

$$y=38,x=12$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Če želite izenačiti y in -2y, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z -2 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Poenostavite.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Odštejte -2y+7x=8 od -2y+6x=-4 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Seštejte -2y in 2y. Z okrajšanjem izrazov -2y in 2y ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$6x-7x=-4-8$$

Seštejte 6x in -7x.

$$-x=-4-8$$

Seštejte -4 in -8.

$$-x=-12$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$x=12$$

Vstavite 12 za x v enačbi -2y+7x=8. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$-2y+7\times 12=8$$

Pomnožite 7 s/z 12.

$$-2y+84=8$$

Odštejte 84 na obeh straneh enačbe.

$$-2y=-76$$

Delite obe strani z vrednostjo -2.

$$y=38$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=38,x=12$$