Rešite y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Rešitev za y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte x na obeh straneh.

$$y-x=5$$

Razmislite o drugi enačbi. Dodajte x na obe strani.

$$y+x=3$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$y-x=5,y+x=3$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za y z osamitvijo y na levi strani enačaja.

$$y-x=5$$

Prištejte x na obe strani enačbe.

$$y=x+5$$

Vstavite x+5 za y v drugo enačbo y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Seštejte x in x.

$$2x+5=3$$

Odštejte 5 na obeh straneh enačbe.

$$2x=-2$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=-1$$

Vstavite -1 za x v enačbi y=x+5. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y=-1+5$$

Seštejte 5 in -1.

$$y=4$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=4,x=-1$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte x na obeh straneh.

$$y-x=5$$

Razmislite o drugi enačbi. Dodajte x na obe strani.

$$y+x=3$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$y-x=5,y+x=3$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je obratna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko matrično enačbo znova napišete v obliki problema množenja matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike y in x.

$$y=4,x=-1$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte x na obeh straneh.

$$y-x=5$$

Razmislite o drugi enačbi. Dodajte x na obe strani.

$$y+x=3$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$y-x=5,y+x=3$$

Odštejte y+x=3 od y-x=5 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$y-y-x-x=5-3$$

Seštejte y in -y. Z okrajšanjem izrazov y in -y ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-x-x=5-3$$

Seštejte -x in -x.

$$-2x=5-3$$

Seštejte 5 in -3.

$$-2x=2$$

Delite obe strani z vrednostjo -2.

$$x=-1$$

Vstavite -1 za x v enačbi y+x=3. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y-1=3$$

Prištejte 1 na obe strani enačbe.

$$y=4$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=4,x=-1$$