Rešite y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Rešitev za y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 2x na obeh straneh.

$$y-2x=-1$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za y z osamitvijo y na levi strani enačaja.

$$y-2x=-1$$

Prištejte 2x na obe strani enačbe.

$$y=2x-1$$

Vstavite 2x-1 za y v drugo enačbo y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Seštejte 2x in 2x.

$$4x-1=3$$

Prištejte 1 na obe strani enačbe.

$$4x=4$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$x=1$$

Vstavite 1 za x v enačbi y=2x-1. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y=2-1$$

Seštejte -1 in 2.

$$y=1$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=1,x=1$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 2x na obeh straneh.

$$y-2x=-1$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je obratna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko matrično enačbo znova napišete v obliki problema množenja matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike y in x.

$$y=1,x=1$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 2x na obeh straneh.

$$y-2x=-1$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Odštejte y+2x=3 od y-2x=-1 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Seštejte y in -y. Z okrajšanjem izrazov y in -y ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-2x-2x=-1-3$$

Seštejte -2x in -2x.

$$-4x=-1-3$$

Seštejte -1 in -3.

$$-4x=-4$$

Delite obe strani z vrednostjo -4.

$$x=1$$

Vstavite 1 za x v enačbi y+2x=3. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y+2=3$$

Odštejte 2 na obeh straneh enačbe.

$$y=1$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=1,x=1$$