Rešite y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Rešitev za y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte \frac{1}{3}x na obeh straneh.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Razmislite o drugi enačbi. Dodajte 3x na obe strani.

$$y+3x=60$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za y z osamitvijo y na levi strani enačaja.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Prištejte \frac{x}{3} na obe strani enačbe.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Vstavite \frac{x}{3} za y v drugo enačbo y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Seštejte \frac{x}{3} in 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Delite obe strani enačbe s/z \frac{10}{3}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$x=18$$

Vstavite 18 za x v enačbi y=\frac{1}{3}x. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Pomnožite \frac{1}{3} s/z 18.

$$y=6$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=6,x=18$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte \frac{1}{3}x na obeh straneh.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Razmislite o drugi enačbi. Dodajte 3x na obe strani.

$$y+3x=60$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike y in x.

$$y=6,x=18$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte \frac{1}{3}x na obeh straneh.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Razmislite o drugi enačbi. Dodajte 3x na obe strani.

$$y+3x=60$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Odštejte y+3x=60 od y-\frac{1}{3}x=0 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Seštejte y in -y. Z okrajšanjem izrazov y in -y ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Seštejte -\frac{x}{3} in -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Delite obe strani enačbe s/z -\frac{10}{3}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$x=18$$

Vstavite 18 za x v enačbi y+3x=60. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za y rešite neposredno.

$$y+3\times 18=60$$

Pomnožite 3 s/z 18.

$$y+54=60$$

Odštejte 54 na obeh straneh enačbe.

$$y=6$$

Sistem je zdaj rešen.

$$y=6,x=18$$