Rešite x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Rešitev za x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$x-y=5$$

Prištejte y na obe strani enačbe.

$$x=y+5$$

Vstavite y+5 za x v drugo enačbo -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Pomnožite -4 s/z y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Seštejte -4y in 5y.

$$y-20=7$$

Prištejte 20 na obe strani enačbe.

$$y=27$$

Vstavite 27 za y v enačbi x=y+5. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=27+5$$

Seštejte 5 in 27.

$$x=32$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=32,y=27$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=32,y=27$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Če želite izenačiti x in -4x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z -4 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Poenostavite.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Odštejte -4x+5y=7 od -4x+4y=-20 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Seštejte -4x in 4x. Z okrajšanjem izrazov -4x in 4x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$4y-5y=-20-7$$

Seštejte 4y in -5y.

$$-y=-20-7$$

Seštejte -20 in -7.

$$-y=-27$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$y=27$$

Vstavite 27 za y v enačbi -4x+5y=7. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$-4x+5\times 27=7$$

Pomnožite 5 s/z 27.

$$-4x+135=7$$

Odštejte 135 na obeh straneh enačbe.

$$-4x=-128$$

Delite obe strani z vrednostjo -4.

$$x=32$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=32,y=27$$