Rešite x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Rešitev za x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$x-3y=7$$

Prištejte 3y na obe strani enačbe.

$$x=3y+7$$

Vstavite 3y+7 za x v drugo enačbo 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Pomnožite 3 s/z 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Seštejte 9y in 3y.

$$12y+21=9$$

Odštejte 21 na obeh straneh enačbe.

$$12y=-12$$

Delite obe strani z vrednostjo 12.

$$y=-1$$

Vstavite -1 za y v enačbi x=3y+7. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Pomnožite 3 s/z -1.

$$x=-3+7$$

Seštejte 7 in -3.

$$x=4$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=4,y=-1$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=4,y=-1$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Če želite izenačiti x in 3x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 3 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Poenostavite.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Odštejte 3x+3y=9 od 3x-9y=21 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Seštejte 3x in -3x. Z okrajšanjem izrazov 3x in -3x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-9y-3y=21-9$$

Seštejte -9y in -3y.

$$-12y=21-9$$

Seštejte 21 in -9.

$$-12y=12$$

Delite obe strani z vrednostjo -12.

$$y=-1$$

Vstavite -1 za y v enačbi 3x+3y=9. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Pomnožite 3 s/z -1.

$$3x-3=9$$

Prištejte 3 na obe strani enačbe.

$$3x=12$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=4$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=4,y=-1$$