Rešite x^2-3x-108=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 = 0$$

Rešitev za x

$$x=-9$$

$$x=12$$

Koraki s faktoriziranjem

Če želite rešiti enačbo, faktor x^{2}-3x-108 s formulo x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-3 ab=-108$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -108 izdelka.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -3.

$$a=-12 b=9$$

Faktorirati izraz za znova napišite \left(x+a\right)\left(x+b\right) z pridobljene vrednosti.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-12=0 in x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot x^{2}+ax+bx-108. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -108 izdelka.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -3.

$$a=-12 b=9$$

Znova zapišite x^{2}-3x-108 kot \left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

Faktor x v prvem in 9 v drugi skupini.

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

Faktor skupnega člena x-12 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-12=0 in x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, -3 za b in -108 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

Kvadrat števila -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z -108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

Seštejte 9 in 432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 441.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

Nasprotna vrednost -3 je 3.

$$x=\frac{3±21}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{3±21}{2}, ko je ± plus. Seštejte 3 in 21.

$$x=\frac{24}{2}$$

Delite 24 s/z 2.

$$x=12$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{3±21}{2}, ko je ± minus. Odštejte 21 od 3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Delite -18 s/z 2.

$$x=-9$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=12 x=-9$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Prištejte 108 na obe strani enačbe.

$$x^{2}-3x-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Če število -108 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-108\right)$$

Odštejte -108 od 0.

$$x^{2}-3x=108$$

Delite -3, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{3}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{3}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=108+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{3}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=108+\frac{9}{4}$$

Seštejte 108 in \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{441}{4}$$

Faktorizirajte x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{21}{2}$$

Prištejte \frac{3}{2} na obe strani enačbe.

$$x=12 x=-9$$