Rešite x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

Rešitev za x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Če želite odpraviti neenakost, faktorizirajte levo stran. Kvadratni polinom je mogoče faktorizirati s transformacijo ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kjer sta x_{1} in x_{2} rešitvi kvadratne enačbe ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 1 za a, -2 za b, in -5 za c v kvadratni enačbi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

Izvedi izračune.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

Rešite enačbo x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}, če je ± plus in če je ± minus.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

Znova zapišite neenakost s pridobljenimi rešitvami.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

Za negativen izdelek morata biti znaka za x-\left(\sqrt{6}+1\right) in x-\left(1-\sqrt{6}\right) nasprotna. Poglejmo si primer, ko je x-\left(\sqrt{6}+1\right) pozitiven in x-\left(1-\sqrt{6}\right) negativen.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

To je za vsak x »false«.

$$x\in \emptyset$$

Poglejmo si primer, ko je x-\left(1-\sqrt{6}\right) pozitiven in x-\left(\sqrt{6}+1\right) negativen.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

Rešitev, ki izpolnjuje obe neenakosti je x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

Končna rešitev je združitev pridobljenih rešitev.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$