Rešite x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Rešitev za x

$$x=6$$

$$x=7$$

Koraki s faktoriziranjem

Če želite rešiti enačbo, faktorizirajte x^{2}-13x+42 z uporabo formule x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Če želite najti a in b, nastavite sistem, ki ga želite rešiti.

$$a+b=-13 ab=42$$

Ker ab je pozitiven, a in b imajo isti znak. Ker je a+b negativen, sta a in b oba negativna. Seznam vseh teh celih parov, ki omogočajo 42 izdelka.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Rešitev je par, ki daje vsoto -13.

$$a=-7 b=-6$$

Faktoriziran izraz \left(x+a\right)\left(x+b\right) znova napišite z dobljenimi vrednostmi.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Če želite najti rešitve enačbe, razrešite x-7=0 in x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktorizirajte levo stran z združevanjem. Najprej je treba na levi strani prepisati kot x^{2}+ax+bx+42. Če želite najti a in b, nastavite sistem, ki ga želite rešiti.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Ker ab je pozitiven, a in b imajo isti znak. Ker je a+b negativen, sta a in b oba negativna. Seznam vseh teh celih parov, ki omogočajo 42 izdelka.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Rešitev je par, ki daje vsoto -13.

$$a=-7 b=-6$$

Znova zapišite x^{2}-13x+42 kot \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Faktoriziranje x v prvi in -6 v drugi skupini.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Faktoriziranje skupnega člena x-7 z uporabo lastnosti odklona.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Če želite najti rešitve enačbe, razrešite x-7=0 in x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, -13 za b in 42 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Kvadrat števila -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Seštejte 169 in -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Nasprotna vrednost vrednosti -13 je 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{13±1}{2}, ko je ± plus. Seštejte 13 in 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Delite 14 s/z 2.

$$x=7$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{13±1}{2}, ko je ± minus. Odštejte 1 od 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Delite 12 s/z 2.

$$x=6$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=7 x=6$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Odštejte 42 na obeh straneh enačbe.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Če število 42 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Delite -13, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{13}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{13}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{13}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Seštejte -42 in \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktorizirajte x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Če je x^{2}+bx+c popolni kvadrat, ga je na splošno mogoče vedno faktorizirati kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Prištejte \frac{13}{2} na obe strani enačbe.

$$x=7 x=6$$