Rešite x+y=7text{and}5x-y=5

$$x + y = 7 \text { and } 5 x - y = 5$$

Rešitev za x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$x+y=7,5x-y=5$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$x+y=7$$

Odštejte y na obeh straneh enačbe.

$$x=-y+7$$

Vstavite -y+7 za x v drugo enačbo 5x-y=5.

$$5\left(-y+7\right)-y=5$$

Pomnožite 5 s/z -y+7.

$$-5y+35-y=5$$

Seštejte -5y in -y.

$$-6y+35=5$$

Odštejte 35 na obeh straneh enačbe.

$$-6y=-30$$

Delite obe strani z vrednostjo -6.

$$y=5$$

Vstavite 5 za y v enačbi x=-y+7. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-5+7$$

Seštejte 7 in -5.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=5$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$x+y=7,5x-y=5$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{1}{-1-5}\\-\frac{5}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 7+\frac{1}{6}\times 5\\\frac{5}{6}\times 7-\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=2,y=5$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$x+y=7,5x-y=5$$

Če želite izenačiti x in 5x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 5 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 1.

$$5x+5y=5\times 7,5x-y=5$$

Poenostavite.

$$5x+5y=35,5x-y=5$$

Odštejte 5x-y=5 od 5x+5y=35 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$5x-5x+5y+y=35-5$$

Seštejte 5x in -5x. Z okrajšanjem izrazov 5x in -5x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$5y+y=35-5$$

Seštejte 5y in y.

$$6y=35-5$$

Seštejte 35 in -5.

$$6y=30$$

Delite obe strani z vrednostjo 6.

$$y=5$$

Vstavite 5 za y v enačbi 5x-y=5. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$5x-5=5$$

Prištejte 5 na obe strani enačbe.

$$5x=10$$

Delite obe strani z vrednostjo 5.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=5$$