Rešite x+y=2;x-y=4

$$x + y = 2 ; x - y = 4$$

Rešitev za x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$x+y=2,x-y=4$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$x+y=2$$

Odštejte y na obeh straneh enačbe.

$$x=-y+2$$

Vstavite -y+2 za x v drugo enačbo x-y=4.

$$-y+2-y=4$$

Seštejte -y in -y.

$$-2y+2=4$$

Odštejte 2 na obeh straneh enačbe.

$$-2y=2$$

Delite obe strani z vrednostjo -2.

$$y=-1$$

Vstavite -1 za y v enačbi x=-y+2. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\left(-1\right)+2$$

Pomnožite -1 s/z -1.

$$x=1+2$$

Seštejte 2 in 1.

$$x=3$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=3,y=-1$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$x+y=2,x-y=4$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=3,y=-1$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$x+y=2,x-y=4$$

Odštejte x-y=4 od x+y=2 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$x-x+y+y=2-4$$

Seštejte x in -x. Z okrajšanjem izrazov x in -x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$y+y=2-4$$

Seštejte y in y.

$$2y=2-4$$

Seštejte 2 in -4.

$$2y=-2$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$y=-1$$

Vstavite -1 za y v enačbi x-y=4. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x-\left(-1\right)=4$$

Pomnožite -1 s/z -1.

$$x+1=4$$

Odštejte 1 na obeh straneh enačbe.

$$x=3$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=3,y=-1$$