Rešite x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Rešitev za x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$x+3y=6$$

Odštejte 3y na obeh straneh enačbe.

$$x=-3y+6$$

Vstavite -3y+6 za x v drugo enačbo 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Pomnožite 5 s/z -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Seštejte -15y in -2y.

$$-17y+30=13$$

Odštejte 30 na obeh straneh enačbe.

$$-17y=-17$$

Delite obe strani z vrednostjo -17.

$$y=1$$

Vstavite 1 za y v enačbi x=-3y+6. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-3+6$$

Seštejte 6 in -3.

$$x=3$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=3,y=1$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je obratna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko matrično enačbo znova napišete v obliki problema množenja matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=3,y=1$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Če želite izenačiti x in 5x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 5 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Poenostavite.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Odštejte 5x-2y=13 od 5x+15y=30 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Seštejte 5x in -5x. Z okrajšanjem izrazov 5x in -5x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$15y+2y=30-13$$

Seštejte 15y in 2y.

$$17y=30-13$$

Seštejte 30 in -13.

$$17y=17$$

Delite obe strani z vrednostjo 17.

$$y=1$$

Vstavite 1 za y v enačbi 5x-2y=13. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$5x-2=13$$

Prištejte 2 na obe strani enačbe.

$$5x=15$$

Delite obe strani z vrednostjo 5.

$$x=3$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=3,y=1$$