Rešite x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Rešitev za x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$x+2y=-1$$

Odštejte 2y na obeh straneh enačbe.

$$x=-2y-1$$

Vstavite -2y-1 za x v drugo enačbo 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Pomnožite 2 s/z -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Seštejte -4y in -3y.

$$-7y-2=12$$

Prištejte 2 na obe strani enačbe.

$$-7y=14$$

Delite obe strani z vrednostjo -7.

$$y=-2$$

Vstavite -2 za y v enačbi x=-2y-1. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Pomnožite -2 s/z -2.

$$x=4-1$$

Seštejte -1 in 4.

$$x=3$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=3,y=-2$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=3,y=-2$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Če želite izenačiti x in 2x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 2 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Poenostavite.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Odštejte 2x-3y=12 od 2x+4y=-2 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Seštejte 2x in -2x. Z okrajšanjem izrazov 2x in -2x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$4y+3y=-2-12$$

Seštejte 4y in 3y.

$$7y=-2-12$$

Seštejte -2 in -12.

$$7y=-14$$

Delite obe strani z vrednostjo 7.

$$y=-2$$

Vstavite -2 za y v enačbi 2x-3y=12. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Pomnožite -3 s/z -2.

$$2x+6=12$$

Odštejte 6 na obeh straneh enačbe.

$$2x=6$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=3$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=3,y=-2$$