Rešite n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Rešitev za n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Koraki s faktoriziranjem

Če želite rešiti enačbo, faktor n^{2}-11n-60 s formulo n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -60 izdelka.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -11.

$$a=-15 b=4$$

Faktorirati izraz za znova napišite \left(n+a\right)\left(n+b\right) z pridobljene vrednosti.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite n-15=0 in n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot n^{2}+an+bn-60. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -60 izdelka.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -11.

$$a=-15 b=4$$

Znova zapišite n^{2}-11n-60 kot \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Faktor n v prvem in 4 v drugi skupini.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Faktor skupnega člena n-15 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite n-15=0 in n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 1 za a, -11 za b in -60 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Kvadrat števila -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Pomnožite -4 s/z -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Seštejte 121 in 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Nasprotna vrednost -11 je 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{11±19}{2}, ko je ± plus. Seštejte 11 in 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Delite 30 s/z 2.

$$n=15$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{11±19}{2}, ko je ± minus. Odštejte 19 od 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Delite -8 s/z 2.

$$n=-4$$

Enačba je zdaj rešena.

$$n=15 n=-4$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Prištejte 60 na obe strani enačbe.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Če število -60 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Odštejte -60 od 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Delite -11, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{11}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{11}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{11}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Seštejte 60 in \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktorizirajte n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Poenostavite.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Prištejte \frac{11}{2} na obe strani enačbe.

$$n=15 n=-4$$