Rešite ax+3y=15text{ve}3x+by=4d

$$a x + 3 y = 15 \text { ve } 3 x + b y = 4 d$$

Rešitev za x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right,$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$ax+3y=15$$

Odštejte 3y na obeh straneh enačbe.

$$ax=-3y+15$$

Delite obe strani z vrednostjo a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

Pomnožite \frac{1}{a} s/z -3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

Vstavite \frac{3\left(5-y\right)}{a} za x v drugo enačbo 3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

Pomnožite 3 s/z \frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

Seštejte -\frac{9y}{a} in by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

Odštejte \frac{45}{a} na obeh straneh enačbe.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

Delite obe strani z vrednostjo b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Vstavite \frac{4da-45}{ba-9} za y v enačbi x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

Pomnožite -\frac{3}{a} s/z \frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

Seštejte \frac{15}{a} in -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Če želite izenačiti ax in 3x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 3 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

Poenostavite.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

Odštejte 3ax+aby=4ad od 3ax+9y=45 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Seštejte 3ax in -3ax. Z okrajšanjem izrazov 3ax in -3ax ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Seštejte 9y in -aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

Delite obe strani z vrednostjo 9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

Vstavite \frac{45-4ad}{9-ab} za y v enačbi 3x+by=4d. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

Pomnožite b s/z \frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

Odštejte \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} na obeh straneh enačbe.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

Rešitev za x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right,$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$ax+3y=15$$

Odštejte 3y na obeh straneh enačbe.

$$ax=-3y+15$$

Delite obe strani z vrednostjo a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

Pomnožite \frac{1}{a} s/z -3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

Vstavite \frac{3\left(5-y\right)}{a} za x v drugo enačbo 3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

Pomnožite 3 s/z \frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

Seštejte -\frac{9y}{a} in by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

Odštejte \frac{45}{a} na obeh straneh enačbe.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

Delite obe strani z vrednostjo b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Vstavite \frac{4da-45}{ba-9} za y v enačbi x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

Pomnožite -\frac{3}{a} s/z \frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

Seštejte \frac{15}{a} in -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

Če želite izenačiti ax in 3x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 3 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

Poenostavite.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

Odštejte 3ax+aby=4ad od 3ax+9y=45 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Seštejte 3ax in -3ax. Z okrajšanjem izrazov 3ax in -3ax ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

Seštejte 9y in -aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

Delite obe strani z vrednostjo 9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

Vstavite \frac{45-4ad}{9-ab} za y v enačbi 3x+by=4d. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

Pomnožite b s/z \frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

Odštejte \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} na obeh straneh enačbe.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$