Rešite 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Rešitev za y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 9 za a, -12 za b in 2 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Kvadrat števila -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 s/z 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 s/z 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Seštejte 144 in -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Uporabite kvadratni koren števila 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Nasprotna vrednost -12 je 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 s/z 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Zdaj rešite enačbo y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, ko je ± plus. Seštejte 12 in 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Delite 12+6\sqrt{2} s/z 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Zdaj rešite enačbo y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}, ko je ± minus. Odštejte 6\sqrt{2} od 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Delite 12-6\sqrt{2} s/z 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Odštejte 2 na obeh straneh enačbe.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Če število 2 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Delite obe strani z vrednostjo 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Z deljenjem s/z 9 razveljavite množenje s/z 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-12}{9} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Delite -\frac{4}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{2}{3}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{2}{3} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{2}{3} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Seštejte -\frac{2}{9} in \frac{4}{9} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktorizirajte y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Poenostavite.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Prištejte \frac{2}{3} na obe strani enačbe.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$