Rešite 9x^2-155x-500=0

$$9 x ^ { 2 } - 155 x - 500 = 0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{25}{9} = -2\frac{7}{9} \approx -2,777777778$$

$$x=20$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 9x^{2}+ax+bx-500. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-155 ab=9\left(-500\right)=-4500$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -4500 izdelka.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -155.

$$a=-180 b=25$$

Znova zapišite 9x^{2}-155x-500 kot \left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right).

$$\left(9x^{2}-180x\right)+\left(25x-500\right)$$

Faktor 9x v prvem in 25 v drugi skupini.

$$9x\left(x-20\right)+25\left(x-20\right)$$

Faktor skupnega člena x-20 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-20\right)\left(9x+25\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-20=0 in 9x+25=0.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 9 za a, -155 za b in -500 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{\left(-155\right)^{2}-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrat števila -155.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-4\times 9\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 s/z 9.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025-36\left(-500\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 s/z -500.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{24025+18000}}{2\times 9}$$

Seštejte 24025 in 18000.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±\sqrt{42025}}{2\times 9}$$

Uporabite kvadratni koren števila 42025.

$$x=\frac{-\left(-155\right)±205}{2\times 9}$$

Nasprotna vrednost -155 je 155.

$$x=\frac{155±205}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 s/z 9.

$$x=\frac{155±205}{18}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{155±205}{18}, ko je ± plus. Seštejte 155 in 205.

$$x=\frac{360}{18}$$

Delite 360 s/z 18.

$$x=20$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{155±205}{18}, ko je ± minus. Odštejte 205 od 155.

$$x=-\frac{50}{18}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-50}{18} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=-\frac{25}{9}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-155x-500=0$$

Prištejte 500 na obe strani enačbe.

$$9x^{2}-155x-500-\left(-500\right)=-\left(-500\right)$$

Če število -500 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$9x^{2}-155x=-\left(-500\right)$$

Odštejte -500 od 0.

$$9x^{2}-155x=500$$

Delite obe strani z vrednostjo 9.

$$\frac{9x^{2}-155x}{9}=\frac{500}{9}$$

Z deljenjem s/z 9 razveljavite množenje s/z 9.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x=\frac{500}{9}$$

Delite -\frac{155}{9}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{155}{18}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{155}{18} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{500}{9}+\left(-\frac{155}{18}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{155}{18} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{500}{9}+\frac{24025}{324}$$

Seštejte \frac{500}{9} in \frac{24025}{324} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}=\frac{42025}{324}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{155}{9}x+\frac{24025}{324}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}=\frac{42025}{324}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{155}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{42025}{324}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{155}{18}=\frac{205}{18} x-\frac{155}{18}=-\frac{205}{18}$$

Prištejte \frac{155}{18} na obe strani enačbe.

$$x=20 x=-\frac{25}{9}$$