Rešite 9x^2-12x-4=0

$$9 x ^ { 2 } - 12 x - 4 = 0$$

Rešitev za x

$$x = \frac{2 \sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,609475708$$

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}\approx -0,276142375$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 9 za a, -12 za b in -4 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrat števila -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 s/z 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\left(-4\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 s/z -4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+144}}{2\times 9}$$

Seštejte 144 in 144.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{288}}{2\times 9}$$

Uporabite kvadratni koren števila 288.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Nasprotna vrednost -12 je 12.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 s/z 9.

$$x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}, ko je ± plus. Seštejte 12 in 12\sqrt{2}.

$$x=\frac{12\sqrt{2}+12}{18}$$

Delite 12+12\sqrt{2} s/z 18.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{12±12\sqrt{2}}{18}, ko je ± minus. Odštejte 12\sqrt{2} od 12.

$$x=\frac{12-12\sqrt{2}}{18}$$

Delite 12-12\sqrt{2} s/z 18.

$$x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-12x-4=0$$

Prištejte 4 na obe strani enačbe.

$$9x^{2}-12x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Če število -4 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$9x^{2}-12x=-\left(-4\right)$$

Odštejte -4 od 0.

$$9x^{2}-12x=4$$

Delite obe strani z vrednostjo 9.

$$\frac{9x^{2}-12x}{9}=\frac{4}{9}$$

Z deljenjem s/z 9 razveljavite množenje s/z 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)x=\frac{4}{9}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-12}{9} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{4}{9}$$

Delite -\frac{4}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{2}{3}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{2}{3} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{2}{3} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4+4}{9}$$

Seštejte \frac{4}{9} in \frac{4}{9} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Prištejte \frac{2}{3} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2}{3} x=\frac{2-2\sqrt{2}}{3}$$