Rešite 9n^2-33n-1456=0

$$9 n ^ { 2 } - 33 n - 1456 = 0$$

Rešitev za n

$$n = \frac{\sqrt{5945} + 11}{6} \approx 14,683971017$$

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}\approx -11,017304351$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 9 za a, -33 za b in -1456 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrat števila -33.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\times 9\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -4 s/z 9.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-36\left(-1456\right)}}{2\times 9}$$

Pomnožite -36 s/z -1456.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+52416}}{2\times 9}$$

Seštejte 1089 in 52416.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{53505}}{2\times 9}$$

Uporabite kvadratni koren števila 53505.

$$n=\frac{-\left(-33\right)±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Nasprotna vrednost -33 je 33.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{2\times 9}$$

Pomnožite 2 s/z 9.

$$n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}, ko je ± plus. Seštejte 33 in 3\sqrt{5945}.

$$n=\frac{3\sqrt{5945}+33}{18}$$

Delite 33+3\sqrt{5945} s/z 18.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6}$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{33±3\sqrt{5945}}{18}, ko je ± minus. Odštejte 3\sqrt{5945} od 33.

$$n=\frac{33-3\sqrt{5945}}{18}$$

Delite 33-3\sqrt{5945} s/z 18.

$$n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$9n^{2}-33n-1456=0$$

Prištejte 1456 na obe strani enačbe.

$$9n^{2}-33n-1456-\left(-1456\right)=-\left(-1456\right)$$

Če število -1456 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$9n^{2}-33n=-\left(-1456\right)$$

Odštejte -1456 od 0.

$$9n^{2}-33n=1456$$

Delite obe strani z vrednostjo 9.

$$\frac{9n^{2}-33n}{9}=\frac{1456}{9}$$

Z deljenjem s/z 9 razveljavite množenje s/z 9.

$$n^{2}+\left(-\frac{33}{9}\right)n=\frac{1456}{9}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-33}{9} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{1456}{9}$$

Delite -\frac{11}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{11}{6}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{11}{6} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1456}{9}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{11}{6} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{1456}{9}+\frac{121}{36}$$

Seštejte \frac{1456}{9} in \frac{121}{36} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{5945}{36}$$

Faktorizirajte n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{5945}{36}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5945}{36}}$$

Poenostavite.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{5945}}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{5945}}{6}$$

Prištejte \frac{11}{6} na obe strani enačbe.

$$n=\frac{\sqrt{5945}+11}{6} n=\frac{11-\sqrt{5945}}{6}$$