Rešite 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Rešitev za n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Odštejte 3n^{2} na obeh straneh.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Združite 9n^{2} in -3n^{2}, da dobite 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Če želite rešiti enačbo, faktorizirajte levo stran z združevanjem. Najprej je treba na levi strani prepisati kot 6n^{2}+an+bn+20. Če želite najti a in b, nastavite sistem, ki ga želite rešiti.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Ker ab je pozitiven, a in b imajo isti znak. Ker je a+b negativen, sta a in b oba negativna. Seznam vseh teh celih parov, ki omogočajo 120 izdelka.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Rešitev je par, ki daje vsoto -23.

$$a=-15 b=-8$$

Znova zapišite 6n^{2}-23n+20 kot \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Faktoriziranje 3n v prvi in -4 v drugi skupini.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Faktoriziranje skupnega člena 2n-5 z uporabo lastnosti odklona.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Če želite najti rešitve enačbe, razrešite 2n-5=0 in 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Odštejte 3n^{2} na obeh straneh.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Združite 9n^{2} in -3n^{2}, da dobite 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 6 za a, -23 za b in 20 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Kvadrat števila -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 s/z 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 s/z 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Seštejte 529 in -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Uporabite kvadratni koren števila 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Nasprotna vrednost vrednosti -23 je 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 s/z 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{23±7}{12}, ko je ± plus. Seštejte 23 in 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{30}{12} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{23±7}{12}, ko je ± minus. Odštejte 7 od 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{16}{12} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Odštejte 3n^{2} na obeh straneh.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Združite 9n^{2} in -3n^{2}, da dobite 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Odštejte 20 na obeh straneh. Če katero koli število odštejete od nič, dobite negativno vrednost števila.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Delite obe strani z vrednostjo 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Z deljenjem s/z 6 razveljavite množenje s/z 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-20}{6} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Delite -\frac{23}{6}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{23}{12}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{23}{12} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{23}{12} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Seštejte -\frac{10}{3} in \frac{529}{144} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktorizirajte n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Če je x^{2}+bx+c popolni kvadrat, ga je na splošno mogoče vedno faktorizirati kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Poenostavite.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Prištejte \frac{23}{12} na obe strani enačbe.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$