Rešite 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Rešitev za x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$7x-15y-2=0$$

Prištejte 2 na obe strani enačbe.

$$7x-15y=2$$

Prištejte 15y na obe strani enačbe.

$$7x=15y+2$$

Delite obe strani z vrednostjo 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Pomnožite \frac{1}{7} s/z 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Vstavite \frac{15y+2}{7} za x v drugo enačbo x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Seštejte \frac{15y}{7} in 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Odštejte \frac{2}{7} na obeh straneh enačbe.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Delite obe strani enačbe s/z \frac{29}{7}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=\frac{19}{29}$$

Vstavite \frac{19}{29} za y v enačbi x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Pomnožite \frac{15}{7} s/z \frac{19}{29} tako, da pomnožite števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Nato okrajšajte ulomek na najnižje člene, če je mogoče.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Seštejte \frac{2}{7} in \frac{285}{203} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Če želite izenačiti 7x in x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 1 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Poenostavite.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Odštejte 7x+14y=21 od 7x-15y-2=0 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Seštejte 7x in -7x. Z okrajšanjem izrazov 7x in -7x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-15y-14y-2=-21$$

Seštejte -15y in -14y.

$$-29y-2=-21$$

Prištejte 2 na obe strani enačbe.

$$-29y=-19$$

Delite obe strani z vrednostjo -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Vstavite \frac{19}{29} za y v enačbi x+2y=3. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Pomnožite 2 s/z \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Odštejte \frac{38}{29} na obeh straneh enačbe.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$