Rešite 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3,714285714$$

$$x=3$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 7x^{2}+ax+bx-78. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. Ker je a+b pozitivno, je pozitivno število večje absolutno vrednosti kot negativno. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -546 izdelka.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto 5.

$$a=-21 b=26$$

Znova zapišite 7x^{2}+5x-78 kot \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Faktor 7x v prvem in 26 v drugi skupini.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Faktor skupnega člena x-3 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-3=0 in 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 7 za a, 5 za b in -78 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrat števila 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -4 s/z 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -28 s/z -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Seštejte 25 in 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Uporabite kvadratni koren števila 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Pomnožite 2 s/z 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-5±47}{14}, ko je ± plus. Seštejte -5 in 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Delite 42 s/z 14.

$$x=3$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-5±47}{14}, ko je ± minus. Odštejte 47 od -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-52}{14} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Prištejte 78 na obe strani enačbe.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

Če število -78 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Odštejte -78 od 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Delite obe strani z vrednostjo 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

Z deljenjem s/z 7 razveljavite množenje s/z 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Delite \frac{5}{7}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite \frac{5}{14}. Nato dodajte kvadrat števila \frac{5}{14} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek \frac{5}{14} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Seštejte \frac{78}{7} in \frac{25}{196} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Faktorizirajte x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Poenostavite.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Odštejte \frac{5}{14} na obeh straneh enačbe.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$