Rešite 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktorizirajte levo stran z združevanjem. Najprej je treba na levi strani prepisati kot 6x^{2}+ax+bx-5. Če želite najti a in b, nastavite sistem, ki ga želite rešiti.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Ker ab je negativen, a in b imajo nasprotne znake. Ker je a+b pozitivno, ima pozitivno število večjo absolutno vrednost kot negativna. Seznam vseh teh celih parov, ki omogočajo -30 izdelka.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Rešitev je par, ki daje vsoto 7.

$$a=-3 b=10$$

Znova zapišite 6x^{2}+7x-5 kot \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Faktoriziranje 3x v prvi in 5 v drugi skupini.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Faktoriziranje skupnega člena 2x-1 z uporabo lastnosti odklona.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Če želite najti rešitve enačbe, razrešite 2x-1=0 in 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 6 za a, 7 za b in -5 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Kvadrat števila 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -4 s/z 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Pomnožite -24 s/z -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Seštejte 49 in 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Uporabite kvadratni koren števila 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Pomnožite 2 s/z 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-7±13}{12}, ko je ± plus. Seštejte -7 in 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{6}{12} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-7±13}{12}, ko je ± minus. Odštejte 13 od -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-20}{12} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Prištejte 5 na obe strani enačbe.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Če število -5 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Odštejte -5 od 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Delite obe strani z vrednostjo 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Z deljenjem s/z 6 razveljavite množenje s/z 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Delite \frac{7}{6}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite \frac{7}{12}. Nato dodajte kvadrat števila \frac{7}{12} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek \frac{7}{12} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Seštejte \frac{5}{6} in \frac{49}{144} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Faktorizirajte x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Če je x^{2}+bx+c popolni kvadrat, ga je na splošno mogoče vedno faktorizirati kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Poenostavite.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Odštejte \frac{7}{12} na obeh straneh enačbe.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$