Rešite 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Rešitev za x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Pomnožite 1+x in 1+x, da dobite \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 54 s/z 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Odštejte 1215 na obeh straneh.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Odštejte 1215 od 54, da dobite -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 54 za a, 108 za b in -1161 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Kvadrat števila 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Pomnožite -4 s/z 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Pomnožite -216 s/z -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Seštejte 11664 in 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Uporabite kvadratni koren števila 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Pomnožite 2 s/z 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, ko je ± plus. Seštejte -108 in 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Delite -108+162\sqrt{10} s/z 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, ko je ± minus. Odštejte 162\sqrt{10} od -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Delite -108-162\sqrt{10} s/z 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Pomnožite 1+x in 1+x, da dobite \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 54 s/z 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Odštejte 54 na obeh straneh.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Odštejte 54 od 1215, da dobite 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Delite obe strani z vrednostjo 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Z deljenjem s/z 54 razveljavite množenje s/z 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Delite 108 s/z 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{1161}{54} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Delite 2, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite 1. Nato dodajte kvadrat števila 1 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Kvadrat števila 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Seštejte \frac{43}{2} in 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Faktorizirajte x^{2}+2x+1. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Poenostavite.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Odštejte 1 na obeh straneh enačbe.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$