Rešite 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Rešitev za x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$5x-2y=1$$

Prištejte 2y na obe strani enačbe.

$$5x=2y+1$$

Delite obe strani z vrednostjo 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Pomnožite \frac{1}{5} s/z 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Vstavite \frac{2y+1}{5} za x v drugo enačbo 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Pomnožite 3 s/z \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Seštejte \frac{6y}{5} in 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Odštejte \frac{3}{5} na obeh straneh enačbe.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Delite obe strani enačbe s/z \frac{31}{5}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=2$$

Vstavite 2 za y v enačbi x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Pomnožite \frac{2}{5} s/z 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Seštejte \frac{1}{5} in \frac{4}{5} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=1$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=1,y=2$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=1,y=2$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Če želite izenačiti 5x in 3x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 3 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Poenostavite.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Odštejte 15x+25y=65 od 15x-6y=3 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Seštejte 15x in -15x. Z okrajšanjem izrazov 15x in -15x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-6y-25y=3-65$$

Seštejte -6y in -25y.

$$-31y=3-65$$

Seštejte 3 in -65.

$$-31y=-62$$

Delite obe strani z vrednostjo -31.

$$y=2$$

Vstavite 2 za y v enačbi 3x+5y=13. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$3x+5\times 2=13$$

Pomnožite 5 s/z 2.

$$3x+10=13$$

Odštejte 10 na obeh straneh enačbe.

$$3x=3$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=1$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=1,y=2$$