Rešite 5x+2y=12text{and}3x-2y=4

$$5 x + 2 y = 12 \text { and } 3 x - 2 y = 4$$

Rešitev za x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$5x+2y=12$$

Odštejte 2y na obeh straneh enačbe.

$$5x=-2y+12$$

Delite obe strani z vrednostjo 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+12\right)$$

Pomnožite \frac{1}{5} s/z -2y+12.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}$$

Vstavite \frac{-2y+12}{5} za x v drugo enačbo 3x-2y=4.

$$3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}\right)-2y=4$$

Pomnožite 3 s/z \frac{-2y+12}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}-2y=4$$

Seštejte -\frac{6y}{5} in -2y.

$$-\frac{16}{5}y+\frac{36}{5}=4$$

Odštejte \frac{36}{5} na obeh straneh enačbe.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

Delite obe strani enačbe s/z -\frac{16}{5}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=1$$

Vstavite 1 za y v enačbi x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{-2+12}{5}$$

Seštejte \frac{12}{5} in -\frac{2}{5} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=1$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 12+\frac{1}{8}\times 4\\\frac{3}{16}\times 12-\frac{5}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=2,y=1$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Če želite izenačiti 5x in 3x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 3 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 5.

$$3\times 5x+3\times 2y=3\times 12,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 4$$

Poenostavite.

$$15x+6y=36,15x-10y=20$$

Odštejte 15x-10y=20 od 15x+6y=36 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$15x-15x+6y+10y=36-20$$

Seštejte 15x in -15x. Z okrajšanjem izrazov 15x in -15x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$6y+10y=36-20$$

Seštejte 6y in 10y.

$$16y=36-20$$

Seštejte 36 in -20.

$$16y=16$$

Delite obe strani z vrednostjo 16.

$$y=1$$

Vstavite 1 za y v enačbi 3x-2y=4. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$3x-2=4$$

Prištejte 2 na obe strani enačbe.

$$3x=6$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=1$$