Rešite 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 5x^{2}+ax+bx-2184. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -10920 izdelka.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -1.

$$a=-105 b=104$$

Znova zapišite 5x^{2}-x-2184 kot \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Faktor 5x v prvem in 104 v drugi skupini.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Faktor skupnega člena x-21 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-21=0 in 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 5 za a, -1 za b in -2184 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 s/z 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 s/z -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Seštejte 1 in 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Uporabite kvadratni koren števila 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Nasprotna vrednost -1 je 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 s/z 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{1±209}{10}, ko je ± plus. Seštejte 1 in 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Delite 210 s/z 10.

$$x=21$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{1±209}{10}, ko je ± minus. Odštejte 209 od 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-208}{10} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Prištejte 2184 na obe strani enačbe.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Če število -2184 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Odštejte -2184 od 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Delite obe strani z vrednostjo 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Z deljenjem s/z 5 razveljavite množenje s/z 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Delite -\frac{1}{5}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{10}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{10} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{1}{10} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Seštejte \frac{2184}{5} in \frac{1}{100} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Prištejte \frac{1}{10} na obe strani enačbe.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$