Rešite 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 5x^{2}+ax+bx-42. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -210 izdelka.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -29.

$$a=-35 b=6$$

Znova zapišite 5x^{2}-29x-42 kot \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Faktor 5x v prvem in 6 v drugi skupini.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Faktor skupnega člena x-7 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-7=0 in 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 5 za a, -29 za b in -42 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kvadrat števila -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -4 s/z 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Pomnožite -20 s/z -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Seštejte 841 in 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Uporabite kvadratni koren števila 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Nasprotna vrednost -29 je 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Pomnožite 2 s/z 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{29±41}{10}, ko je ± plus. Seštejte 29 in 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Delite 70 s/z 10.

$$x=7$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{29±41}{10}, ko je ± minus. Odštejte 41 od 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-12}{10} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Prištejte 42 na obe strani enačbe.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Če število -42 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Odštejte -42 od 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Delite obe strani z vrednostjo 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Z deljenjem s/z 5 razveljavite množenje s/z 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Delite -\frac{29}{5}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{29}{10}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{29}{10} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{29}{10} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Seštejte \frac{42}{5} in \frac{841}{100} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Prištejte \frac{29}{10} na obe strani enačbe.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$