Rešite 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Rešitev za x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 42x^{2}+ax+bx-3. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -126 izdelka.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -5.

$$a=-14 b=9$$

Znova zapišite 42x^{2}-5x-3 kot \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Faktor 14x v prvem in 3 v drugi skupini.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Faktor skupnega člena 3x-1 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 3x-1=0 in 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 42 za a, -5 za b in -3 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kvadrat števila -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Pomnožite -4 s/z 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Pomnožite -168 s/z -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Seštejte 25 in 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Uporabite kvadratni koren števila 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Nasprotna vrednost -5 je 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Pomnožite 2 s/z 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{5±23}{84}, ko je ± plus. Seštejte 5 in 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{28}{84} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{5±23}{84}, ko je ± minus. Odštejte 23 od 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-18}{84} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Prištejte 3 na obe strani enačbe.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Če število -3 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Odštejte -3 od 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Delite obe strani z vrednostjo 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Z deljenjem s/z 42 razveljavite množenje s/z 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{3}{42} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Delite -\frac{5}{42}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{5}{84}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{5}{84} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{5}{84} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Seštejte \frac{1}{14} in \frac{25}{7056} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Prištejte \frac{5}{84} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$